Les nombres premiers trahis par les partitions des entiers

Trois mathématiciens menés par Ken Ono ont établi un lien entre les nombres premiers et les partitions entières, rapporte Sciencepost le 10 octobre 2026.

L’annonce touche à l’un des plus vieux casse-tête de la discipline. Un nombre premier n’admet que deux diviseurs, 1 et lui-même, et ces nombres se succèdent sur la droite numérique sans régularité apparente, au point d’intriguer les savants depuis l’Antiquité.

Des atomes que l’on traque depuis vingt-deux siècles

Leur importance tient à une propriété simple : tout entier se décompose en un produit de nombres premiers, et ce produit est unique. C’est pourquoi on les décrit volontiers comme les « atomes » des mathématiques. Douze, par exemple, ne s’écrit que d’une seule façon à partir de ces briques.

Pour les repérer, la méthode de référence remonte au troisième siècle avant J.-C. Le Grec Ératosthène imagina alors un crible, connu sous le nom de tamis d’Ératosthène, qui écarte un à un les entiers possédant plus de deux facteurs. Ne subsistent que les nombres premiers. Le procédé reste aujourd’hui largement employé.

Ce que les partitions révèlent

Le travail de l’équipe de Ken Ono fait intervenir un objet bien différent. Partitionner un entier, c’est l’écrire comme une somme d’entiers, quel que soit leur nombre. Le cas de 4 permet de saisir l’idée, puisqu’il admet cinq écritures :

• 4
• 3+1
• 2+2
• 2+1+1
• 1+1+1+1

À partir de ces décompositions, les mathématiciens construisent des fonctions dites de partition. Les chercheurs ont montré qu’elles permettent de détecter les nombres premiers, et ce d’une infinité de manières. Il ne s’agit donc pas d’un critère isolé, mais d’une famille sans fin d’outils de repérage.

Un pont entre deux branches des mathématiques

Le résultat prend une forme précise : les nombres premiers sont solutions d’une infinité d’équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations polynomiales dont on cherche les solutions entières ou rationnelles. Ces équations sont bâties à partir des fonctions de partition.

La théorie des nombres premiers et la combinatoire des partitions paraissaient jusqu’ici relever de territoires distincts. La mathématicienne Kathrin Bringmann, de l’Université de Cologne, juge « remarquable qu’un objet aussi classique que la fonction de partition puisse détecter les nombres premiers de cette manière novatrice ».

Et la sécurité de nos données ?

La question se pose parce que les nombres premiers ont quitté depuis longtemps le seul terrain théorique. Le chiffrement moderne, à commencer par le système RSA, repose sur la difficulté à factoriser de très grands nombres. C’est sur cette difficulté que s’appuie la protection des paiements bancaires en ligne et de nombreuses communications.

D’après l’article de Sciencepost, la nouvelle approche fournit de nouvelles définitions des nombres premiers sans menacer les systèmes cryptographiques en place.

Ken Ono le résume lui-même : « La bonne nouvelle, c’est que le monde sera toujours en sécurité. » Définir autrement un nombre premier ne revient pas à savoir décomposer plus vite un grand entier en facteurs.

Ce travail prolonge d’autres pistes déjà évoquées sur la structure cachée des nombres premiers. Une question reste ouverte, posée par Sciencepost : la méthode pourrait-elle s’appliquer à d’autres suites de nombres, comme les nombres composés, ceux qui possèdent plus de deux diviseurs ?

Photo à la une. Source : Pexels. Photographe : Jean-Rene Chazottes. Licence Pexels.